5 向量与矩阵的运算

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运算规则背后是含义：加法是合成，数乘是缩放，点积能看相似度，矩阵乘法是在组合关系。

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我会先检查维度，再解释结果。能算出来不代表含义正确。

在上一篇中，我们探讨了向量与矩阵的定义与表示。本篇将围绕向量与矩阵之间的基本运算进行讲解，帮助大家更好地理解如何在实际问题中应用这些数学工具。

向量和矩阵的基本概念回顾

在深入运算之前，让我们先回顾一下向量和矩阵的基本概念。

• 向量：向量是一个有序的数字集合，通常用 $n \times 1$ 的列矩阵表示。例如，向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 是一个三维向量。

• 矩阵：矩阵是一个由数值排列成的二维数组。一个 $m \times n$ 的矩阵可以表示为 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$。

向量的运算

向量之间可以进行多种运算，最常见的包括向量的加法和数乘，以及点积运算。

向量加法

若有两个向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$，它们的和 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 形成一个新的向量 $\mathbf{w}$，如下所示：

$$\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix}$$

示例

考虑向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$：

$$\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 + 4 \\ 3 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix}$$

向量的数乘

若有一个标量 $k$ 和向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$，则数乘的结果为：

$$k \mathbf{v} = \begin{bmatrix} k v_1 \\ k v_2 \\ \vdots \\ k v_n \end{bmatrix}$$

示例

设标量 $k = 3$ 和向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$，我们可以计算：

$$k \mathbf{v} = 3 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 12 \end{bmatrix}$$

向量的点积（内积）

向量的点积是一个重要的运算。在两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的情况下，其点积定义为：

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \ldots + u_n v_n$$

示例

考虑向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$：

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) = 4 - 6 + 5 = 3$$

矩阵的运算

矩阵之间的运算主要包括矩阵加法、数乘和矩阵乘法。接下来，我们将关注矩阵加法与数乘的概念。

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做向量和矩阵运算时，先确认维度、方向、结果形状和场景含义。维度对齐只是第一步，含义对齐才是关键。

矩阵加法

对于两个相同维度的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和矩阵 $C$ 是通过相应元素相加计算得到的：

$$C = A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \ldots \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$

示例

假设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$，那么：

$$C = A + B = \begin{bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

矩阵的数乘

如果有一个标量 $k$ 和矩阵 $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$，则数乘操作定义为：

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开始读《向量与矩阵的运算》前，可以先看图中从问题到结果的路径。读完后再对照正文，确认自己能不能照着复现。

$$kA = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} & \ldots \\ k a_{21} & k a_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$

示例

设有标量 $k = 2$ 和矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则：

$$kA = 2A = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

矩阵乘法

矩阵乘法用于把一个矩阵的行和另一个矩阵的列组合起来。若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，则乘积 $AB$ 的形状是 $m \times p$。

示例

设

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

则：

$$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{bmatrix}$$

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复习《向量与矩阵的运算》时，建议把关键概念、操作步骤和可见结果放在同一页里回看。

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练习《向量与矩阵的运算》时，建议把输入条件、处理动作和可见结果写在一起，方便下次复查。

小结

向量与矩阵的运算不是孤立公式。向量加法和数乘帮助我们理解方向和缩放，点积帮助我们衡量相似度，矩阵乘法则把多个线性关系组合起来。实际使用时，第一步永远是检查维度是否匹配，再解释计算结果的业务含义。