16 特征值与特征向量之特征向量的定义

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特征向量不是一个固定长度的箭头，而是一条方向。只要方向相同，倍数不同仍然代表同一类特征向量。

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我会代回 Av = lambda v 检查。只求出数值，不代回验证，容易把普通向量误当成特征向量。

在上一篇中，我们讨论了特征值的定义与计算，这部分知识为我们理解特征向量奠定了基础。特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在许多应用中都扮演着关键的角色，尤其是在人工智能、机器学习和数据分析等领域。

特征向量的定义

特征向量是一种特殊类型的向量，它在经过一个线性变换后，仅仅改变了其长度或方向，而没有改变其方向。具体来说，对于给定的方阵 $A$，如果存在一个非零向量 $\mathbf{v}$ 和一个标量 $\lambda$，使得下述等式成立：

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读完《特征值与特征向量之特征向量的定义》后，可以先挑一个小样例走完整流程，再判断哪些步骤已经能独立完成。

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读到这里，可以把《特征值与特征向量之特征向量的定义》整理成一张复盘表：先说清主线，再拿一个小任务检查结果。

$$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

我们称 $\mathbf{v}$ 为矩阵 $A$ 的一个特征向量，而 $\lambda$ 则是对应的特征值。

举例说明

假设我们有一个简单的 $2\times2$ 矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

我们想要找出矩阵 $A$ 的特征向量。首先，我们需要找到特征值 $\lambda$，这可以通过求解以下特征方程得到：

$$\text{det}(A - \lambda I) = 0$$

其中 $I$ 是单位矩阵。

计算 $A - \lambda I$，我们得到：

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix}$$

求其行列式：

$$\text{det}(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 1 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$$

从中，我们可以找到特征值 $\lambda_1 = 1$ 和 $\lambda_2 = 3$。

接下来，我们需要计算对应的特征向量。

计算特征向量

对于每个特征值，我们将其代入 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 中，求解特征向量。

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判断一个向量是否为特征向量时，先确认它非零，再计算矩阵作用后的结果，最后看是否只是原向量的倍数。

特征值 $\lambda_1 = 1$：

我们有：

$$A \mathbf{v} = 1 \mathbf{v} \implies (A - I) \mathbf{v} = 0$$

那么：

$$A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

我们解这个方程得到一个特征向量：

$$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

通常我们会选择规范化的特征向量，即长度为 1 的向量。上面的特征向量可以归一化为：

$$\mathbf{v_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

特征值 $\lambda_2 = 3$：

同样地，对特征值 $\lambda_2 = 3$ 进行计算：

$$(A - 3I) \mathbf{v} = 0$$

得：

$$A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

解这个方程可得特征向量：

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

同样地，归一化：

$$\mathbf{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

小结

特征向量是定义在线性变换下保持特征的向量。通过特征向量，我们可以理解线性变换的性质，以及在数据降维、图像处理、推荐系统等领域的应用。

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《特征值与特征向量之特征向量的定义》适合边看图边读正文。先确认问题和判断标准，再看概念解释与练习步骤，信息会更容易连成一条线。

在下一篇中，我们将讨论特征值与特征向量的关系——特征分解，这一概念与今天的主题紧密相关，希望大家保持关注！